Задачи по специальности Математика. Тема работы: Задачи

7. Вычислить интегралы.

а)  ∫▒〖√(1+ln⁡x )/x dx〗;    б)  ∫▒〖∛(2-3 cos⁡5x )  sin⁡5x dx〗;     в)  ∫▒〖x arctg 2x dx〗;

г)  ∫▒〖(x^3+4)/(x^2-4x+3) dx〗

Решение:

а)  ∫▒〖√(1+ln⁡x )/x dx〗=|█(1+ln⁡[email protected]=dx/x)|=∫▒〖√t dt〗=t^(3/2)/(3/2)+C=2/3 t√t+C=

=2/3 (1+ln⁡x ) √(1+ln⁡x )+C    

б)  ∫▒〖∛(2-3 cos⁡5x )  sin⁡5x dx〗=|█(2-3 cos⁡[email protected]=15 sin⁡5x dx)|=

=1/15 ∫▒〖∛(2-3 cos⁡5x )  〖∙15sin〗⁡5x dx〗=1/15 ∫▒〖∛t dt〗=1/15  t^(4/3)/(4/3)+C=1/20 t∛t+C=     =1/20 (2-3 cos⁡5x ) ∛(2-3 cos⁡5x )+C     

в)  ∫▒〖x arctg 2x dx〗=|█(U=arctg 2x       dU=2dx/(1+4x^2 )@dV=xdx        V=x^2/2)|=x^2/2 arctg 2x-

-∫▒〖x^2/2∙2dx/(1+4x^2 )  〗=x^2/2 arctg 2x-∫▒(x^2 dx)/(1+4x^2 )=x^2/2 arctg 2x-∫▒(1/4-1/4∙1/(1+4x^2 ))dx= =x^2/2 arctg 2x-1/4 x+1/8 arctg 2x+C 

г)  ∫▒〖(x^3+4)/(x^2-4x+3) dx〗=∫▒(x+4+(13x+8)/(x^2-4x+3))dx

(13x+8)/(x^2-4x+3)=(13x+8)/(x-3)(x-1) =A/(x-3)+B/(x-1)=(Ax-A+Bx-3B)/(x-3)(x-1)  =47/2  1/(x-3)-21/2  1/(x-1) 

∫▒〖(x^3+4)/(x^2-4x+3) dx〗=∫▒(x+4+47/2  1/(x-3)-21/2  1/(x-1))dx=x^2/2+4x+47/2  ln⁡|x-3|--21/2  ln⁡|x-1|+C 


17. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y=ax^2+bx+c и прямой y=kx+b. Сделать чертеж.

y=-x^2-6x-5,  y=x+1.

Решение:

 


S=∫_(-6)^(-1)▒(-x^2-6x-5-x-1)dx=∫_(-6)^(-1)▒(-x^2-7x-6)dx= 

=[-x^3/3-(7x^2)/2-6x]_(-6)^(-1)=(1/3-7/2+6)-(216/3-(7∙36)/2+36)=20.83 (кв.ед) 



27. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию y=y_0 при x=x_0

xy^'+2y=cos⁡x      x_0=2π     y_0=0

Решение:


  • Задачи по специальности Математика. Тема работы: Задачи
  • Код работы: work-000191
  • 42 руб.